درس في المعادلات التفاضلية

تؤدي دراسة بعض الظواهر الفيزيائية و البيولوجية و الاقتصادية و غيرها إلى معادلات يكون فيها
المجهول دالة وتحتوي على مشتقة أو مشتقات هذه الدالة.
هذا النوع من المعادلات يسمى المعادلات التفاضلية.
(............. u , z , f وقد يرمز لها بأي حرف آخر مثل ) y يرمز عادة إلى الدالة المجهولة بالرمز
التي تحقق هده المعادلة , و مجموعة هده الدوال y حل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد جميع الدوال
تسمى الحل العام للمعادلة ، آل عنصر من هده المجموعة يسمى حلا خاصا للمعادلة , آل حل
يسمى آذلك تكاملا.
-2 أمثلة
هي معادلة تفاضلية y'= أ) 0
حل خاص للمعادلة y(x) = ب 1 􀁜 المعرفة على y الدالة
. y'= هي الحل العام للمعادلة 0 􀁜 مجموعة الدوال الثابتة على
( y'(x) =x2 − يمكن أن نكتب 1 ) y هي معادلة تفاضلية ذات المجهول y'=x2 − ب) 1
. 􀁜 على x→x2 − حلول هذه المعادلة هي الدوال الأصلية للدالة 1
بما يلي 1 2 􀁜 أي الحل العام لهذه المعادلة هي مجموعة الدوال المعرفة على
3
x→ x −x+k
عدد حقيقي اعتباطي . k حيث
y´+ay= حل المعادلة التفاضلية 0 – II
تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى ( لأنها لا تتضمن إلا y'+ay= -1 المعادلة التفاضلية 0
ذات المعاملات الثابتة . ( y المشتقة الأولى للمجهول
􀁜 أي أن الحل العام هو مجموعة الدوال الثابتة على y'= فان 0 a = * اذا آان 0
a ≠ * اذا آان 0
y'+ay= حل خاص للمعادلة 0 x →e −ax ادن ∀x ∈􀁜 (e−ax )' = −ae−ax نعلم أن
y (x) =z (x)e−ax نضع y'+ay= حلا اعتباطيا للمعادلة 0 y ليكن
y'(x)=z'(x)e−ax −az(x)e−ax ومنه
y'(x)+ay (x)=z'(x)e−ax = و بالتالي 0 y'(x)=z'(x)e−ax −ay(x) أي
عدد حقيقي اعتباطي λ حيث ∀x∈􀁜 z(x)=λ و بالتالي z'(x) = و منه 0
عدد حقيقي اعتباطي λ حيث ∀x ∈􀁜 y (x) =λe−ax اذن
هي ضمن الحالة العامة . a = نلاحظ أن الحالة 0
خاصية
x →λe −ax ب 􀁜 تقبل ما لانهاية من الحلول و هي الدوال المعرفة على y'+ay= المعادلة التفاضلية 0
عدد حقيقي اعتباطي. λ حيث
نتيجة
( و هي الدالة ( 0 y(x0) = y يحقق الشرط 0 y'+ay= يوجد حل وحيد للمعادلة 0
0
x yea x x → − −
يسمى الشرط البدئي y(x0) = y الشرط 0
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed
أمثلة
y'+2y= -1 حل المعادلة التفاضلية 0
(1) 2 ; ' -2 حل المعادلة التفاضلية 1 0
3
y = −y+ y =
y'+ay²= -2 حل المعادلة التفاضلية من نوع 0
(E): y'+3y2 = تمرين نعتبر المعادلة 0
(2) أوجد الحل المعرف على ]∞+ ; 1] حيث 1
4
[ و لا ينعدم على ]∞+ ; 1 y =
الحل
'
2
2
' 3 0 ' 3 1 3 1 3 / 1
3
y y y x k k y
y y y x k
−  
+ = ⇔ = ⇔  = ⇔ = + ∈ ⇔ = +
􀁜
(2) بما أن 1
4
(3 2 0) [1; [ ( ) ادن 1 k = − فان 2 y =
3 2
x x y x
x
− ≠ ∀ ∈ +∞ =
−
y"+ay'+by= حل المعادلات التفاضلية 0 -III
تسمى معادلات تفاضلية خطية من الرتبة (a,b)∈ 􀁜 حيث 2 y"+ay'+by= -1 المعادلات التفاضلية 0
الثانية ذات المعاملات الثابتة
-2 بعض الحالات الخاصة
y '' = فان 0 a=b= *- اذا آان 0
y"=0⇔ ∃k∈􀁜 y'(x) = k ⇔ ∃(k;k') ∈􀁜2 y (x) = kx + k'
(k;k')∈ 􀁜 بحيث 2 x→kx+k ' هي مجموعة الدوال y '' = الحل العام للمعادلة 0
y''+ay' = فان 0 b = *- اذا آان 0
z'+az= حل للمعادلة 0 y ' ومنه y"+ay'=0⇔ (y')'+ay'=0
عدد حقيقي اعتباطي λ بحيث y'(x) = λe−ax و بالتالي
x → λe −ax هي الدوال الأصلية y''+ay' = اذن الحل العام للمعادلة 0
( ; ) 2 x eax أي الدوال
a
λ
λμ − − μ
∈􀁜 → +
(a;b)≠(0;0) ; E:y"+ay'+ by = 3 – حل المعادلة التفاضلية 0
I دالتين معرفتين على نفس المجال g و f تذآير لتكن -(a
∃k∈ 􀁜 ∀x∈I g(x)=kf(x) متناسبتين ادا و فقط ادا آان g و f تكون
E حل للمعادلة αy1+ βy بين أن 2 (α ;β ) ∈ 􀁜 و ليكن 2 E حلين للمعادلة y و 2 y ليكن 1 (b
خاصية
αy1+ βy فان 2 (α ;β )∈ 􀁜 و آان 2 E: y"+ay'+by= حلين للمعادلة 0 y و 2 y اذا آان 1
. E حل للمعادلة
خاصية
. E هو تأليفة خطية لحلين غير متناسبين للمعادلة E: y"+ ay'+by = آل حل للمعادلة التفاضلية 0
يكفي أن نجد حلين خاصين غير متناسبين E: y"+ ay'+by = ملاحظة لايجاد حل العام للمعادلة التفاضلية 0
(a;b)∈ 􀁜2 ; E:y"+ay'+by= حل المعادلة التفاضلية 0 –(d
r∈􀁜; y:x→erx لنبحث عن حلول من نوع
r2+ar+b=0⇔r2ex+arex+bex=0⇔E حل للمعادلة y
E حل للمعادلة x → e rx فان الدالة r2 +ar+b= حل للمعادلة 0 r اذن اذا آان
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed
خاصية
تسمى المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية r2 +ar+b= المعادلة 0
(a;b)∈ 􀁜2 ; E :y "+ay '+by =0
a2 − 4b مميز هذه المعادلة هو
. r و 2 r تقبل حلين مختلفين 1 r2 +ar+b= فان 0 a2 −4b􀀻 الحالة 1 اذا آان 0
E حلان خاصان للمعادلة التفاضلية x →er2x ; x→er1x الدالتان
غير متناسبين x→er2x ;x→er1x نلاحظ أن
عددان اعتباطيان. β و α حيث x →αer1x +βer2x هي الدوال E اذن حلول المعادلة
. r تقبل حل مزدوج r2 +ar+b= فان 0 a2 −4b= الحالة 2 اذا آان 0
. E حل للمعادلة x → xe rx نبين أن . E حل للمعادلة x → e rx الدالة
غير متناسبتين لأن x → xe rx و x →e rx الدالتان
rx
rx
x xe
e
→ غير ثابتة.
عددان اعتباطيان β و α حيث x →(α +βx )erx هي الدوال E اذن حلول المعادلة
r2 =p−iq و r1 =p+iq تقبل جذرين مترافقين r2 +ar+b= فان 0 a2 −4b≺ الحالة 3 اذا آان 0
(q ≠ 0)
e r1x =e px (cosqx +i sinqx ) = e px cosqx + ie px sinqx
.E حلين للمعادلة x→epx cosx ; x→epx sinx نبين أن الدالتين
لاحظ
; 4 2
2 2
p a q b a
 − 
 = − = 
 
غير متناسبتين فان حلول المعادلة التفاضلية x→epx cosx ; x→epx sinx و بما أن الدالتين
عددان اعتباطيان. β و α حيث x→epx (αcosqx+βsixqx) هي الدوال E
خاصية
و لتكن (a;b)∈􀁜2 ; E :y "+ay '+by = 0 :E لتكن المعادلة التفاضلية
r2 +ar+b=0
المعادلة المميزة
r2 ; r فان المعادلة المميزة لها جدرين مختلفين 1 a2 −4b􀀻 *- اذا آان 0
عددان اعتباطيان β و α حيث x → αer1x + βer2x هي الدوال E و حلول المعادلة
. r فان المعادلة المميزة تقبل حل مزدوج a2 −4b= *- اذا آان 0
عددان اعتباطيان β و α حيث x →(α +βx )erx هي الدوال E و حلول المعادلة
r2 =p−iq و r1 =p+iq فان المعادلة المميزة تقبل جذرين مترافقين a2 −4b≺ *- اذا آان 0
عددان β و α حيث x→epx(αcosqx+βsixqx) هي الدوال E و حلول المعادلة التفاضلية
اعتباطيان.
y'(x0)= y'0 ; y(x0 ) = y الحل الذي يحقق 0
y'(x0)=y'0 ; y(x0 )=y يحقق الشرطين 0 E يوجد حل وحيد للمعادلة التفاضلية
يسميان الشرطين البدئيين . y'(x0)= y'0 ; y(x0 ) = y الشرطان 0
يمكن إعطاء شرطين بدئيين آخرين.
ملاحظة لدينا
cosqx sinqx k cosqx sinqx k(cos cosqx sin sinqx) k cos(qx )
k k
α β
α +β =  + = ϕ + ϕ = −ϕ
 
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed
cos ; sin ; k بوضع 2 2
k k
α β
ϕ = ϕ= = α + β
اعتباطيان ϕ و k حيث x→kepx cos(qx−ϕ ) فان a2 −4b≺ تستنتج اذا آان 0
" 2 ' تمرين 1- حل المعادلة 5 0
4
y1'(0) = −1 ; y1(0) = حيث 1 y و حدد الحل الخاص 1 y+ y− y=
y'(−1) =0 ; y(−1) = حيث 1 y"+4y'+4y= -2 حل المعادلة 0
y'(0) = −1 ; y(0) = حيث 0 y"+2y'+5y= -3 حل المعادلة 0
حالات خاصة
بما 􀁜 هي الدوال المعرفة على y"+ay= فان حلول المعادلة التفاضلية 0 a 􀀻 *- اذا آان 0
. (α ;β ) ∈ 􀁜 حيث 2 x →αcos ax +βsin ax يلي
بما 􀁜 هي الدوال المعرفة على y"+ay= فان حلول المعادلة التفاضلية 0 a ≺ *- اذا آان 0
. (α ;β ) ∈ 􀁜 حيث 2 x→αe−ax+βe− −ax يلي
y"−4y=0 ; y"+2y= مثال حل المعادلتين 0
معادلات تفاضلية بطرف ثان -IV
y´+ay=f(x) -1 معادلة تفاضلية
أ- تعريف
تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى ذات معاملات ثابتة E: y'+ay= f(x) المعادلة التفاضلية
و بطرف ثان.
E تسمى المعادلة التفاضلية المرتبطة بالمعادلة التفاضلية E' : y'+ay= المعادلة التفاضلية 0
E: y´+ay=f(x) ب- حل معادلة تفاضلية
E حلا عاما للمعادلة y و 1 E حلا خاصا للمعادلة y ليكن 0
(y1−y0) '+a(y1−y0)= ادن 0 y1'+ay1= f (x) ; y0'+ay0= f(x) و منه
E' z'+az= الحل العام للمعادلة 0 z هو y1−y و بالتالي 0
y1=z+y اذن 0
خاصية
E': y'+ay= حلا عاما للمعادلة 0 z و E: y'+ay =f (x) حلا خاصا للمعادلة y ليكن 0
y =z +y هو 0 E الحل العام للمعادلة
y´´+ay´+by=f(x) -2 معادلة تفاضلية
أ- تعريف
تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية ذات E: y''+ay'+by =f (x) المعادلة التفاضلية
معاملات ثابتة و بطرف ثان
تسمى المعادلة التفاضلية المرتبطة بالمعادلة E': y''+ay'+by= المعادلة التفاضلية 0
. E التفاضلية
E: y´´+ay´+by=f(x) ب- حل معادلة تفاضلية
E حلا عاما للمعادلة y و 1 E حلا خاصا للمعادلة y ليكن 0
y1''+ay1'+by1= f ( x) ; y0''+ay0'+by0= f(x) و منه
(y1−y0) ''+a(y1−y0) '+b(y1−y0)= ادن 0
y1=z+y ادن 0 E' z''+az'+bz= الحل العام للمعادلة 0 z هو y1−y و بالتالي 0
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed
خاصية
حلا عاما للمعادلة z و E: y''+ay'+by =f (x) حلا خاصا للمعادلة y ليكن 0
. E': y''+ay'+by=0
y =z +y هو 0 E الحل العام للمعادلة
-3 تقنيات
دالة حدودية p حيث y'+ay=p(x) لحل المعادلة التفاضلية -*(a
y'+ay=p(x) نبحث عن حل خاص للمعادلة
n فإننا نبحث حل خاص يكون دالة حدودية درجتها a ≠ - إذا آان 0
n + فإننا نبحث حل خاص يكون دالة حدودية درجتها 1 a = - إذا آان 0
ونطبق الخاصية
y'+2y=x2 −x مثال حل
n دالة حدودية درجتها p حيث E: y''+ay'+by = p (x) *- لحل المعادلة التفاضلية
نبحث عن حل خاص للمعادلة
n فإننا نبحث حل خاص يكون دالة حدودية درجتها c ≠ - إذا آان 0
n + فإننا نبحث حل خاص يكون دالة حدودية درجتها 1 c = و 0 b ≠ - إذا آان 0
n+ فإننا نبحث حل خاص يكون دالة حدودية درجتها 2 b = و 0 c = - إذا آان 0
ونطبق الخاصية.
y''+ 3y'+2y=x2 +x مثال حل
y'+ay=kcos(ωx−ϕ ) لحل المعادلة التفاضلية -* (b
و نطبق الخاصية x→α cosωx+β sinωx من نوع y'+ay=kcos(ωx−ϕ ) نبحث عن حل خاص للمعادلة
' 2 3cos مثال حل 3
4
y y x
+ =  −π
 
E: y''+ay'+by=kcos(ωx−ϕ ) *- لحل المعادلة التفاضلية
و نطبق الخاصية x→α cosωx+β sinωx من نوع E نبحث عن حل خاص للمعادلة
'' 6 ' 5 3cos مثال حل للمعادلة 4
3
y y y x
+ + =  −π
 
E: y'+ay =keα x لحل المعادلة التفاضلية -*(c
و نطبق الخاصية x →(ax +b )eα x من نوع E نبحث عن حل خاص للمعادلة
y'+2y=4e−2x و y'+2y=4ex مثال حل
E: y''+ay'+by =keα x *- لحل المعادلة التفاضلية
و نطبق الخاصية x →(ax 2+bx +c )e α x من نوع E نبحث عن حل خاص للمعادلة
y"−5y'+6y=3e4x ; y"−5y'+6y=3e2x مثال حل المعادلتين

merci

موصوع رائع شكرااااااااااااا لك

سلام بارك الله فيكم بما تعلمتم وعلمتم